Resposta:

De administrar, do Latim “menos”, que se dizia MINUS.
Desta palavra se fez um superlativo, MINOR, “menor”.
De MINOR se fez MINISTER, primeiramente “servo, criado, ajudante” em sentido amplo e depois “servo de Deus, sacerdote, ministro religioso”.

A isso se acrescentou o prefixo AD-, e temos administrativo.