Resposta:

“Bandeja” foi formado através do verbo BANDEJAR, que quer dizer “sacudir para um lado e para outro, peneirar”, como o movimento de uma peneira.
E BANDEJAR vem de “banda”, do Provençal BANDA, “lateral de algo, flanco, lado”.
Essa noção de “lado” é que trouxe o significado de “sacudir”, pois este movimento implica, num recipiente, em que o conteúdo vá de um lado para outro.