Resposta:

“Estafeta” vem do Lombardo STAFFA, “estribo”.
Uma pessoa muito cansada afirmava ter “perso la staffa del cervello”, ter perdido o estribo da razão em que se apoiava.
De “apoio”, a palavra, através dessas voltas do idioma, passou a significar as conseqüências da falta desse apoio, como a “estafa”, o cansaço.
Também gerou o nome da função em que o indivíduo fazia uso do estribo. É como chamar o mensageiro a cavalo de “estribinho”.
STAFF, por sua vez, tem origem Germânica e pode se traçar até o Sânscrito STHA, “ficar em pé, estar” e significava originariamente, nas línguas germânicas, “bastão”.
Este era um símbolo de comando que identificava (como até hoje) um oficial superior.
Os ajudantes dele estavam “sob o seu bastão”, e passaram a ser conhecidos como o STAFF dele.