Resposta:

As duas designam o mesmo elemento mas têm origens diferentes.

Azougue vem do Árabe AZ-ZAWQ, do Persa ZIWAG, “mercúrio”.

Mercúrio recebeu o nome do deus mítico, que o recebeu  como um derivado de merx, “bens, mercadorias”, pois ele era o protetor dos comerciantes. Além disso, era muito veloz, deslocando-se rapidamente que nem uma bolinha desse metal líquido.