Resposta:

Campanha vem de campo, do Latim CAMPUS,“área cercada”, mesmo que fosse por obstáculos naturais, como bosques ou colinas.

Mais adiante, campus passou a designar uma área plana, adequada para plantio.

Chegando no sentido em que você falou, uma campanha militar recebeu esse nome porque os enfrentamentos entre exércitos costumavam ser feitos em campo aberto.