Resposta:

Ela vem do Latim EVIDENTIA, “prova”, originalmente “clareza, distinção”, de EVIDENS, “claro, óbvio, perceptível”, de EX-, “fora”, mais VIDENS, de VIDERE, “ver, enxergar”.

Já “prova” vem do L. PROBARE, “testar, demonstrar que algo tem valor”, de PROBUS, “correto, de valor, virtuoso”.

A confusão que se está fazendo atualmente parece se dever às traduções de filmes para a TV. Em inglês se usa “evidence” em jargão policial como nós usaríamos “prova”, e a tradução acaba seguindo o mais parecido, que é sempre mais fácil.

“Despautério” é boa: havia um estudioso europeu nascido em 1460, VAN PAUTEREN, cujo nome foi latinizado para DESPAUTERIUM. Sua obra parece que era muito confusa e cheia de disparates, o que fez seu nome ficar imortalizado em nosso idioma.

Mas, se isso é verdade, há que estranhar que em nenhum outro tal homenagem tenha sido prestada.