Resposta:

Pérgola vem do Italiano PERGOLA, que vem do Latim PERGULA, “sacada, construção saliente numa fachada, passadiço coberto de plantas”.

E esta foi formada a partir de PERGERE, “levar a cabo, continuar, prolongar”, constituída de PER, “através”, mais REGERE, “dirigir, levar a, reger”.

Evidentemente, pergolado deriva diretamente de pérgola.