Resposta:

Trata-se da mesma palavra.
Vieram do Latim INFLUERE, “correr, deslizar, fluir para”, formada por IN-, “em”, + FLUERE, “correr (líquido)”.
Em 1743, durante uma epidemia gripal na Itália, a palavra italiana, INFLUENZA, “doença respiratória, epidemia”, originalmente “visita, influência das estrelas (achava-se que estas emanavam algo que influenciava a conduta humana)”, passou a denominar
a doença.