Resposta:

Parece estranho, mas “administrar” vem de “menos” em Latim, que se dizia MINUS.
Desta palavra se fez um superlativo, MINOR, “menor”.
De MINOR se fez MINISTER, primeiramente “servo, criado, ajudante” em sentido amplo e depois “servo de Deus, sacerdote, ministro religioso”.

Um derivado muito usado é exatamente ministro. Outro é ministério.
O sentido de “alto cargo administrativo” vem de “servidor da maior figura política de um país”, seja rei ou presidente.
Para dar o sentido de “gerir uma atividade”, essa palavra se soma ao prefixo AD-, “junto”.
Logo, “administrar” dá a noção de “servir ou auxiliar junto a” (uma instituição ou organização, por exemplo).