Resposta:

Sandra:
Espero sinceramente que você não esteja ficando curada da doença que pegou recentemente.
Meu atendimento aqui, devo confessar, não é para obter curas e sim aprofundar esta doença.

“Planilha” vem do Espanhol PLANILLA, “formulário, papel com espaços em branco para preencher”. E esta palavra vem do Latim PLANUM, “achatado, liso”.
“Saúde” vem do Latim SALUS, “cumprimento, salvação, situação de bem-estar”. Relaciona-se a SALVUS, “salvo, seguro”.
“Urgência” é do Latim URGENTIA, de URGERE, “impelir, exigir, apressar, compelir”. A fonte meis remota é o Indo-Europeu WERG-, “trabalhar”, que gerou também os Gregos ERGON, “trabalho” e ORGANON, “ferramenta”.
“Emergência” deriva do Latim EMERGENTIA, do verbo EMERGERE, “erguer-se, sair de repente”. O verbo se forma por EX-, “fora”, mais MERGERE, “afundar” (a noção é a de um objeto que flutua e é largado no fundo dágua, pulando fora a seguir).
Lá pelos 1600 e tantos assumiu também o significado de “situação que exige ação sem admitir perda de tempo”.
Ou seja, esta última sempre teve a conotação de maior pressa.