Resposta:

1) Do Latim medieval MISSATICUM, de MISSUS, “enviado”, de MITTERE, “mandar, enviar”.
Sim, “missa” também vem daí.

2) Grego, MOUSA, cada uma das 9 divindades que presidiam a certas atividades humanas (veja “Assunto do Dia ed. 9).
Considerou-se a música a arte das musas por excelência.

3) L., PETERE, “atacar, solicitar, requerer, desejar”.
Sim, “petição” é parente.