Resposta:

Salve, Sérgio.

“Casa” vem do Latim CASA, “choça, cabana”. Uma residência de melhor categoria era chamada DOMUS, mas esta palavra passou a ser usada como formadora de derivados (doméstico, domicílio) e foi substituída por CASA.

LAR era o nome dos deuses próprios de cada casa; a eles era dedicado o fogo de cada residência. Assim, “lar” era a parte da casa onde ficava o fogo, a parte mais íntima e mais sacra. Daí derivou “lareira”.
Há séculos, a contagem das casas era feito por “fogos”: “uma vila de 50 fogos” era uma vila com 50 casas.

Não há conexão etimológica entre essas palavras.