Resposta:

Ronaldo:

“Limite” vem do Latim LIMES, “fronteira, limiar”.
E “esgotar” vem do Latim EX-, “fora”, mais GUTTA, “gota”. Quando a última gota da paciência da gente se derramaou, a gente fica esgotado, não é?

Logo, não há relação de origem entre essas palavras.

Gratos pela bênção.